Unidad 1
Números complejos: expresión cartesiana y polar. Raíces
enésimas. Límite y continuidad de funciones a valores complejos.
La derivada de una función definida en un abierto del plano complejo.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Unidad 2
La función exponencial y logaritmo. Potencias y raíces.
Funciones trigonométricas. Transformaciones homográficas. Mapeos.
Aplicaciones conformes.
Unidad 3
El teorema de Cauchy. Fórmula de Cauchy para una función
holomorfa. Ceros de una función holomorfa. El principio del
módulo máximo. Forma local de una función holomorfa.
Unidad 4
Series de Laurent y singularidades. Cálculo de integrales reales.
Unidad 5
Ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
Ejemplos. El teorema de existencia y unicidad. Ecuaciones lineales de segundo
orden con coeficientes constantes. La ecuación lineal de orden n.
El Wronskiano. Métodos de los coeficientes indeterminados y de
variación de los parámetros.
Unidad 6
Teoremas de convergencia puntual y media cuadrática. Aplicaciones:
el problema de Dirichlet en el disco; ecuación del calor y de las
ondas en una dimensión.
Bibliografía
Números complejos y funciones a valores complejos.
Funciones elementales.
La integral de línea.
El teorema de los residuos.
Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Series de Fourier.