Unidad 1
Sistemas coordenados tridimensionales.
Distancia en tres dimensiones.
El producto escalar.
Angulos directores .
Proyecciones.
El producto cruz, interpretación geométrica.
Rectas y planos.
Unidad 2
La ecuación general.
Gráficas de las superficies canónicas, técnicas de
graficación. Ejemplos.
Unidad 3
Límite y continuidad de funciones vectoriales, de variable real.
Definición de curva en el espacio.
Derivadas e integrales de funciones vectoriales, de variable real.
Longitud de arco.
Coordenadas cilíndricas y esféricas.
Unidad 4
Funciones vectoriales, de variable real.
Límite y continuidad
Ejemplos.
Derivadas parciales.
Derivadas de mayor orden.
Teorema de Clairaut.
Derivadas direccionales.
Diferenciabilidad implica continuidad.
Definición de plano tangente. Ejemplos.
Condición suficiente para la diferenciabilidad de una función
en un punto. Funciones vectoriales, de variable vectorial.
Noción de diferenciabilidad en un punto.
La Regla de la cadena.
Vuelta a derivadas direccionales y vector gradiente.
Planos tangentes a superficies de nivel.
Unidad 5
El Teorema de la función inversa. Enunciado y aplicaciones.
Funciones definidas implícitamente.
El Teorema de la función implícita.
Ejemplos
Unidad 6
Definición de puntos y valores máximos y mínimos locales
y absolutos. Definición de punto crítico.
Condición necesaria para le existencia de extremos locales de funciones diferenciables.
Prueba de la segunda derivada.
Multiplicadores de Lagrange.
Ejemplos.
Unidad 7
Definición de integral doble sobre un rectángulo.
Propiedades.
Integral iterada.
Integrales dobles sobre regiones más generales.
Propiedades.
Integrales dobles y coordenadas polares.
Aplicaciones: centro de masa, área de superficies.
Integrales triples.
Teorema de Fubini.
Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas.
Cambio de variables en integrales múltiples.
Unidad 8
Definición.
Campos gradientes y función potencial..
Integrales de línea.
Integrales de línea de campos vectoriales.
El teorema fundamental para integrales de línea.
Dependencia de la trayectoria.
Regiones simplemente conexas y condición suficiente para que un
campo sea conservativo. Teorema de Green.
Rotor y Divergencia.
Formas vectoriales del Teorema de Green.
Superficies paramétricas y sus áreas.
Integrales de superficies.
Superficies orientadas.
Integrales de superficies de campos vectoriales.
Teorema de Stokes.
Interpretación física del rotor.
Teorema de Gauss o de la divergencia.
Aplicación a campos de velocidades de fluidos.
Unidad 9
Definición de polinomio de Taylor de funciones escalares de varias
variables. El Teorema de Taylor.
Desarrollos de Taylor de algunas funciones particulares.
Bibliografía
Geometría Analítica Tridimensional y Vectores
Superficies cuadráticas
Funciones vectoriales y curvas en el espacio
Funciones de varias variables
Teoremas de la función inversa e implícita
Valores máximos y mínimos de funciones reales
Integrales múltiples.
Campos vectoriales.
Polinomios de Taylor