Unidad 1
Particiones. Sumas de Riemann superior e inferior. Propiedades. Funciones
integrables. Ejemplos. Condición necesaria y suficiente de
integrabilidad. Propiedades de la integral. Función integral. Teoremas
fundamentales del cálculo integral (primero y segundo). Integrabilidad
de las funciones continuas. Métodos elementales de integración.
Integración por partes, substitución, etc. Integrales
trigonométricas. Substituciones trigonométricas.
Integración de funciones racionales por fracciones parciales.
Estrategias de integración. Integrales impropias.
Unidad 2
Propiedad fundamental. Funciones
iguales hasta orden n. Polinomios iguales hasta orden n. Unicidad del
polinomio de Taylor. Teorema de los restos (Taylor). Acotaciones y
aplicaciones. Teorema de determinación de máximos y
mínimos.
Unidad 3
Definición de límite.
Propiedades. Relación con el límite de funciones. Teorema del
sandwich. Definición del límite infinito. Sucesiones acotadas.
Sucesiones monótonas. Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weiertrass.
Aplicación a las funciones continuas en intervalos cerrados
(teorema de la continuidad uniforme). Criterio de Cauchy.
Unidad 4
Convergencia. Operaciones. Condición sobre el término general.
Criterio de Cauchy. Series de téminos positivos. Criterio de
comparación. Criterio del cociente. Criterio de la integral. Series
alternadas, absolutamente convergentes y condicionalmente convergentes.
Teorema de Leibnitz. Reordenamiento de los términos de una serie.
Teorema de Riemann.
Unidad 5
Convergencia puntual y uniforme. Límite uniforme de sucesiones de
funciones continuas. Teoremas asociados. Criterio M de Weiertrass. Ejemplo
de una función continua en R sin derivada en ningún punto.
Series de potencias centradas en un punto. Serie de Taylor de una
función. Si una serie de potencias converge en un punto b de R entonces
converge uniforme y absolutamente en intervalos cerrados de radio menor a b.
Consecuencias. Radio e intervalo de convergencia. Convergencia en los
extremos. Representación de funciones como serie de potencias.
Teorema fundamental de integración y derivación término
a término para series de potencias. Construcción de las series
para diversas funciones. Series de Taylor alrededor de un punto para una
función. Series de Maclaurin. Función analítica en un
punto. Teorema de la condición de analiticidad. Serie binomial.
Aplicación a la construcción de otras series.
Bibliografía
Integrales.
Polinomios de Taylor de una función.
Sucesiones de números reales.
Series numéricas.
Sucesiones y series de funciones.