Unidad 1
Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices y propiedades de suma y producto.
Operaciones elementales por filas, eliminación Gaussiana. Matrices
escaleras reducidas por filas. Matrices invertibles. Resolución de
sistemas de ecuaciones lineales.
Unidad 2
Determinante de una matriz, definición y propiedades. Regla de Sarrus.
Determinante de matrices invertibles. Desarrollo de un determinante por los
elementos de una fila o columna. Aplicación del determinante a la
solución de sistemas de ecuaciones lineales. Regla de Cramer.
Unidad 3
Vectores y puntos de R2 y R3. Suma, producto por escalar
y producto escalar. Longitud, distancia y ángulos. Rectas en
R2 y R3, descripciones paramétricas e
implícitas. Producto vectorial en R3. Areas y
volúmenes. Planos en R3, descripciones paramétricas
e implícitas, ecuaciones general, normal y vectorial. Distancias
entre puntos y planos, aplicaciones.
Unidad 4
Espacios vectoriales, subespacios. Bases y dimensión. Suma e
intersección de subespacios y relación entre sus dimensiones.
Coordenadas. Cambios de bases y sus matrices. Computaciones relativas a
subespacios y operaciones por filas de matrices. Espacio fila de una matriz.
Determinación de una base del espacio de soluciones de un sistema
homogéneo de ecuaciones lineales.
Unidad 5
Transformaciones lineales. Núcleo e imagen de una transformación
lineal y su relación entre las dimensiones. Rango fila y rango columna
de una matriz. El álgebra de transformaciones lineales. Isomorfimos
de espacios vectoriales. Transformaciones lineales no singulares.
Transformaciones lineales invertibles. Funcionales lineales. EL espacio
vectorial dual. Bases duales. Transpuesta de una transformación lineal.
Unidad 6
Bases ordenadas. Representación de transformaciones lineales de
matrices y sus propiedades. Matriz asociada a la composición de
transformaciones. Relación entre las matrices asociadas de un operador
lineal respecto de distintas bases ordenadas. Matrices similares.
Unidad 7
Espacios vectoriales reales producto interno. Norma y ángulo entre
vectores no nulos. Desigualdad de Cauchy-Schwarz y desigualdad triangular.
Bases ortogonales. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
Proyección ortogonal sobre subespacios. EL ortogonal de un subespacio.
Suma directa de un subespacio vectorial y su ortogonal.
Unidad 8
Autovalores (valores propios) de un operador lineal y autovectores (vectores
propios). Definiciones equivalentes. Determinante de un operador lineal.
Valores propios de una matriz y su polinomio característico.
Polinomio característico de un operador lineal. Expresión
diagonal de un operador lineal cuyos autovalores son todos distintos.
Operadores lineales autoadjuntos, diagonalización.
Bibliografía
Ecuaciones Lineales.
Determinantes de matrices.
Geometrí de R2 y R3.
Espacios vectoriales.
Transformaciones lineales.
Transformaciones lineales y matrices.
Producto interno en espacios vectoriales reales.
Autovalores y autovectores.